Klaus Wolschner                         Texte zur Geschichte und Theorie von Medien & Gesellschaft

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III
Medien-
Theorie

Wie wir wahrnehmen,
was wir sehen

3 AS neu 200

ISBN 978-3-7418-5475-0
im Buchhandel oder beim Autor  klaus(at)wolschner.de

Über die Mediengeschichte der Schriftkultur und ihre Bedeutung für die
menschliche Wirklichkeits-Konstruktion im „Jahrhundert des Auges“

3 VR neu 200

ISBN 978-3-7375-8922-2
im Buchhandel oder beim Autor  klaus(at) wolschner.de

Denken mit Zahlzeichen
– oder:
Wie der Geist der Materie einen Stempel aufprägt

2017

„Ja, glauben sie denn“, habe sie gefragt,
so berichtet Hedwig Born, die Frau von Max Born,
kurz nach Einsteins Tod 1955 in der „Weltwoche“,
„dass sich einfach alles auf naturwissenschaftliche Weise
wird abbilden lassen können?“
„Ja“,
habe Albert Einstein geantwortet,
„das ist denkbar, aber es hätte doch keinen Sinn.
Es wäre eine Abbildung mit inadäquaten Mitteln,
so als ob man eine Beethoven-Symphonie als Luftdruckkurve darstellte.“

Zahlen sind ein Mittel, ein klassisches „Medium“ des Denkens. Zahlzeichen sind erfunden worden, mit ihnen schafft sich der menschliche Geist Übersicht und bringt das sinnlich Wahrnehmbare in seine Ordnung. Gehören zu der Herde 17 oder 24 Schafe? Das war die Frage, zu dessen Lösung in der sumerischen und in der ägyptischen Kultur vor 3.000 Jahren das Zählen und die Zahl-Zeichen benutzt wurden. Wobei es zwischen „Zählen“ und „Zahl“ einen großen Unterschied gibt: Noch den Griechen galt die Null beim Zählen als Platzhalter für nichts und auch die „1“ war keine Zahl, weil das Gezählte für sie erst bei der „2“ begann. Erst durch die schriftliche Darstellung wird die Form von Zahlen zweidimensional. Eine Null-Stelle gibt es nur in der grafisch geordneten Darstellung von zahlen, beim Reden wäre da ein Nichts.  Die zweidimensionale Darstellung macht aus gezählten Gegenständen eine abstrakte Zahl und schafft die Grundlage für das Rechnen mit Zahlen.

Tiere können „mehr“ oder „weniger“ unterscheiden, sie haben einen allgemeinen Mächtigkeitseindruck. Bienen erkennen unterschiedliche Anzahlen von Blütenblättern. Diese sinnliche Zahlenwahrnehmung hat aber enge Grenzen, sie reicht meist nur bis zu fünf Gegenständen. Größere Mengen sind in oralen Kulturen nicht erfassbar, sie können nur mit Hilfe von Zahlzeichen aufgefasst werden, die kleinere Einheiten bündeln und aufsummieren. Die Fixierung einer Menge durch Kerbungen ist durch mehr als 20.000 Jahre alte Knochenfunde belegt, die visuell erfassbar waren. Lautzeichen für diese Zahlzeichen hat es offenbar erst sehr viel  später gegeben.

Der Bedarf, mit größeren Zahlen umzugehen, entstand historisch mit den größeren Siedlungen und Stadtstaaten im Orient. Handel, Tausch, Eigentums- und Besitzverhältnisse wurden dokumentiert, ökonomische Beziehungen, Schulden und Guthaben wurden eindeutig fixiert. Wenn 8.000 Jahre v.u.Z. in Catal-Hüyük ein Haus gebaut werden sollte, konnte der Zimmermann die Balkenlänge nicht nach seiner persönlichen „Elle“ bestimmen. Ebenso mussten Zeitmaße definiert werden, die für Schuldbegleichungen verbindlich waren. Ein Kalender ermöglichte es, Festtage zu bestimmen und ein Händler-Treffen zu planen in einem Umfeld, in dem man sich nicht jeden Tag sowieso sah und so etwas spontan verabreden konnte.

Weitaus größere Zahlen als für den irdischen Handel waren erforderlich für die Beobachtung von Regelmäßigkeiten der Natur und für die Berechnung und Dokumentation der Sonnen- und Mondphasen. In allen Phasen der antiken Vorgeschichte der Mathematik hat es eine prahlerischer Rivalität unter den Astronomen gegeben – es machte offenbar Spaß, mit diesen abstrakten Denkmittel zu spielen, und es gab einen Wettbewerb, sich immer noch größere Zahlen auszudenken.

Vom Empfinden der Mächtigkeit zur visuellen Zahlen-Darstellung

In der anschaulichen Mengencharakteristik wurden Anzahl-Angaben immer zusammen mit den Objekten, um die es ging benannt. Die Zahlworte waren anfangs mit den Ereignissen verbunden, die gezählt erden wollten. Im Altsumerischen bedeutete der laut für „Mann" gleichzeitig „eins", „Frau" bedeutete „zwei". Bei den Fidschi-Insulanern heißen zehn Kähne (= bola) anders als zehn Kokosnüsse (= karo).  Es gibt frühe Zahlenbenennungen, bei denen schon die „drei“ als „einszwei“, also durch die Kombination der Laute für „eins“ und „zwei“ ausgedrückt wird. Vier wären nach diesem System „zweizwei“. Ähnlich bei der Verwendung von Zeichen für Zahlen. Im Chinesischen stand das Zeichen mit drei Bäumen für das Wort „Wald".

Um bei einer sinnlichen Erfassung der Mächtigkeit einer Menge unterscheiden zu können, dass drei kleine Stücke Fleisch, die nicht „größer“ waren als ein großes,  dennoch „mehr“ sein können, musste man sie gedanklich reihen  - eins und eins und eins. Das Finger-Rechnen setzt schon ein spezifisch menschliches Zahlendenken voraus, bei dem den Elementen einer (kleinen) Menge Hilfsobjekte zugeordnet werden, eben die Finger. Das Körpergliedzählen reicht bis zehn oder, wenn man die Fußzehen hinzunimmt, bis 20, und stellt die erste Form einer sinnlichen Bündelung dar, die es natürlich in Form eines „Gebindes“ auch ohne Zähl-Anstrengungen gibt.  Will man Getreide, Mehl, Milch oder Bier messbar machen, muss man Gefäße als „Bündel" nutzen, Hohlkörper. Wobei auch die ersten Maß-Hohlkörper objektgebunden waren und noch nicht abstrakte Hohl-Maße.

Einfache Bündelungen erweitern den Zähl-Raum – sie orientierten sich an den fünf Fingern der Hand. Bündelungen für kleine Einheiten hat es auch als Zehner-, Zwölfer-, Zwanziger-,  und Sechziger-Systeme gegeben. Größere  Zahlendarstellungen werden mit solchen kleinen Bündelungen sehr kompliziert.

Am Anfang des Zählens stand die Zuordnung bestimmter verfügbarer Hilfsmengen zu den zu zählenden Objekten: Finger, Muscheln, Steinchen oder kleine Holzstäbe konnten verwendet werden. Da musste schon die Zahlbezeichnung der Finger oder der Muscheln auf die Menge übertragen werden.
Noch im römischen Zahlensystem war die Fünf als „V“ die erste Zahl, die ein eigenes Zeichen hatte. Je nachdem ob das  „I“ vor oder hinter dem „V“ stand, bedeutete das später Addition oder Subtraktion – dies ist schon ein relatives Positionssystem. In der französischen Zählweise finden wir das Prinzip noch heute - 94 heißt da „4 20 14“ (quatre vingt quatorze). Mit solchen für uns kompliziert anmutenden Zahldarstellungen und Zahlbezeichnungen blieben Rechnen und Schreiben verschiedene Tätigkeiten, die gesondert gelernt werden mussten.

Während Tiere wie kleine Kinder ohne schulischen Rechen-Unterricht über ein körperlich-sinnliches Zahlendenken verfügen, das vier oder fünf konkrete Elemente „auf einen Blick“ erfasst oder zwischen „zwei“ und „vier“ Ereignissen einer zeitlichen Abfolge unterscheiden kann, ist das abstrakte Zählen und die Symbolisierung des Zählens in Zahlen eine Erfindung der menschlichen Kultur. 

Positionssysteme und die Null

Zur kognitiven Bewältigung großer Mengen reichte die einfache Bündelung nicht. Aber es sollte mehr als 2.000 Jahre dauern, bis ein Stellensystem für Zahlen erfunden wurde, mit dem unübersehbar große Mengen durch die visuelle Darstellung in Zahl-Zeichen „auf einen Blick“ erkennbar werden konnten. Erforderlich war dafür nicht nur ein ausgeklügeltes Positionssystem, sondern auch die Erfindung der Null.

Sumerische Astronomen ritzten vor 5.000 Jahren zur Unterscheidung von großen Zahlen wie „356“ und „3506“ zwei schräge Pfeile in eine Tontafel. Das ist der der erste erhaltene Dokument aus der langen Geschichte der Null. Rund 3.000 Jahre hat es gedauert, bis nach vielen Umwegen aus diesem „Nichts“, das in Italien als „nulla figura“ bezeichnet wurde, also keine Zahl, die Recheneinheit der Zahl Null wurde.

Die Null überschreitet unsere Vorstellungskraft wie das Nichts. Kann die Welt aus dem Nichts erschaffen sein, fragte schon Augustinus. Unvorstellbar. Aber abstraktes Denken beginnt da, wo die sinnliche Vorstellungskraft zurückgedrängt wird, das ist das Geheimnis der Mathematik und der physikalischen Beschreibung von Wirklichkeit. Die Geschichte der Null ist die mühsame Denk-Anstrengung, mit der aus der sichtbaren Abwesenheit einer Zahl die Idee eines Zahlzeichens für das Nichts wird. 

Mit der Null war in Indien ein Denkmittel erfunden worden, das sich trotz aller philosophischen Bedenken im lateinischen Europa im kaufmännischen Rechnen als nützlich erwies und dann die moderne Mathematik und Technik ermöglichen sollte. Dem unter „Adam Riese“ heute noch berühmten Rechenlehrer Adam Ries aus dem 16. Jahrhundert verdankt die Aufklärung den Durchbruch im Rechnen: Was bis dahin eine geheime Kunst war, wurde mit Adam Riese kinderleicht – dank der Null und des mit der Null darstellbaren dezimalen Positionssystems.

Während die Evolution der menschlichen Sprache in ganz unterschiedliche Richtungen führte, liefen die Bemühungen der Rechenkunst zu einem global einheitlichen Ergebnis zusammen. Babylonische, griechische und indische  Astronomen haben mit ihren Umwegen und Irrungen dazu Beiträge geleistet. Vollkommen unabhängig davon haben die Astronomen Maya ähnliche Strukturen der Zahlenkunde entwickelt. Die Geschichte der Zahlen-Sprache kennt kein „Babel“, keine Aufspaltung in verschiedene Sprachen. Es ist die einzige „Sprache“, für es heute weltweit keiner Übersetzung bedarf gibt – Mathematiker aus Japan und aus dem Kongo verstehen sich und können ihre Berechnungen ohne Mühe „lesen“.

Mit den Mitteln der Zahlen wurde in der Kulturgeschichte das Zeitempfinden quantifiziert, auf eine gerichtete Linie gebannt und berechenbar gemacht. Verdinglichte Substantive beginnen ein Eigenleben in der menschlichen Wahrnehmung zu führen, notierte Norbert Elias in seiner Schrift „Über die Zeit“. So führt der Begriff „Zeit“ ein strenges Regiment über das Leben der Menschen, der „Zeitzwang“ ist für Elias ein Musterbeispiel für zivilisatorische Zwänge in entwickelten Gesellschaften. Elias empfiehlt, das Substantiv „Zeit“ zu vermeiden, wenn man verstehen will, „welche Probleme Menschen mit seiner Hilfe zu bewältigen suchen": Die Zahlen der Zeit schaffen eine symbolische Beziehung im Verhältnis von Geschehenem und Erwarteten, Zeit ist ein „Beziehungssymbol“ zur Ordnung von Geschehensabläufen – angemessener wäre daher, das Verb „timen“ oder „zeiten“ zu benutzen. 

Als Einheiten der Zahlungsmittel sind die Zahlen zu Metaphern des Maßstabes und der Bedeutung aller Dinge geworden – ein Schaf kann in Goldstücken aufgewogen und in seinem Wert bemessen werden oder neuerdings in Zahlen, die auf ein Stück Papier gedruckt sind. Die „Rechenhaftigkeit“ der Kultur ist für Soziologen wie Werner Sombart und Max Weber ein Kennzeichnen der europäischen Neuzeit.

Schon Pythagoras dachten, der Schöpfergott müsse ein Mathematiker gewesen sein, so fasziniert war er von der Erkenntnis, dass die harmonischen Klänge nach einfachen Zahlenverhältnissen bei der Verkürzung einer Saite der Leier entstehen. Auch der Lauf der Gestirne schien ja in seiner Präzision reine Mathematik zu sein. Aber die alten Sumerer und Babylonier wie die Mayas sind bei ihren Bemühungen um einen stimmigen Kalender daran verzweifelt, wie wenig die Umlaufbahnen von Mond und Sonne einfachen Zahlenverhältnissen entsprechen. Bis heute werden Kalender in mathematisch unbefriedigender Weise zusammengebastelt.

Geschichte der Zahl Pi oder: Gott war kein Mathematiker

Einigermaßen unvorstellbar ist auch, dass die Götter für das Verhältnis von Radius und Kreisumfang einen Wert 3,1415926535 und so weiter erfunden haben könnten – keine vernünftige, rationale Zahl, sondern eine unendliche, unberechenbare, transzendente Zahl. Weil nicht sein darf, was nicht sein kann, wurde dieses Gebilde mystifiziert. Die alten Ägypter rechneten  2.000 v.u.Z. mit 3,16 als einem Näherungswert, Archimedes fand im 3. Jahrhundert immerhin heraus, dass der Wert zwischen dem 3 plus 10/70 und 3 plus 10/71 liegen müsse. In China hat Liu Hui im Jahr 263 das Pi schon auf 5 Stellen nach dem Komma berechnet, Leonardo von Pisa (Fibonacci) kam um 1220 nur auf drei Stellen nach dem Komma. Der persischen Astronomen Al-Khashi errechnete im Jahre 1430 immerhin 16 Stellen. Erst Leonhard Euler hat diese Zahl im 17. Jahrhundert mit einem Zahl-Namen „Pi“ benannt und damit scheinbar eindeutig gemacht, heute rechnen Schüler mit dem  „π“ so als wäre es das Selbstverständlichste von der Welt. Der Weltrekord liegt inzwischen bei 22,4 Billionen Stellen hinter dem Komma. Das ist für einen Mathematiker, die die Schönheit der Natur gern durch möglichst einfache Formeln ausdrückt, unbefriedigend und alles andere als göttlich vollkommen.

Der Schritt vom mündlichen Zählen zum schriftlichen Rechnen führt die Zahlsymbole als Denkmittel in die menschliche Kultur ein. Das schriftliche Rechnen nutzt die zwei Dimension des Schreibmaterials aus, schriftlich lassen sich komplizierte Zwischenergebnisse speichern. Vor allem aber steht an der Schwelle vom Zählen zum Rechnen die Erfindung der Null, jenes geheimnisvollen Zeichens, das ursprünglich für „nichts“ steht und dann als Platzhalter in einer grafisch strukturierten Zahlensymbolik den großen Unterschied ausmacht – eine Eins und zweimal „nichts“ macht da schon 100!

Rechnungen, die man heute Kindern beibringt, verlangten noch im 12. Jahrhundert in Europa die Arbeit mehrer Tage eines Spezialisten. Denn die frühen Zahlendarstellungen kannten noch kein Positionssystem. Erst mit solchen Positionssystemen werden Ziffernsysteme zur Grundlagen neuer geistiger Fähigkeiten der Menschen. Positionssysteme wurden erstmals von babylonischen Astronomen gegen Beginn des zweiten Jahrtausends entwickelt, sie gab es unabhängig davon bei den Chinesen und auch bei den Astronomen der Maya. In Indien ist die Null als Zahl im Positions-System begriffen worden. Als diese indische Art, Zahlen zu schreiben, in Europa angekommen ist, war das die Grundlage für den Durchbruch der Rechenkunst und der Mathematik.

Die Zahlensymbole sind Medien eines komplexen menschlichen Denkens, das zwischen 100 und 101 präzise unterscheiden kann und solche Mengen nicht nur als „irgendwie viel“ empfindet. Erst durch die Zahlensymbole werden große Zahlen konstruierbar und „denkbar“. Ohne die Präzision der Zahlensymbole gäbe es keine Mathematik, keine naturwissenschaftlichen Beschreibungen und keine technischen Konstruktionen. Die mathematische Naturberechnung ist eine Technik des menschlichen Verstandes, die vieles berechenbarer macht als Mythologie, Astrologie und Allchemie. Sie ist ein kognitives Instrument, aber „Sprache der Natur“ ist sie nicht.

Und sie befriedigt unsere kognitiven Bedürfnisse nicht. Die Phantasie-Reisen der „virtuellen Realität“ benutzen die abstrakten naturwissenschaftlichen Wahrheiten wie eine Kiste bunter Klötze für ihre Fantasy-Welt. Das dokumentiert das Bedürfnis unseres Gehirns, das, was technisch möglich und mathematisch berechenbar ist, so faszinierend es sein mag, immer wieder zu überflügeln. 

 

 

    Notizen zur Kulturgeschichte der Zahl siehe  MG-Link

 

    Lit: 

    Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen (frz. 1981, dt. 1986)  
    Friedhart
    Klix, Erwachendes Denken: Geistige Leistungen aus evolutionspsychologischer Sicht
           (überarbeitete Auflage 1993)
    Robert Kaplan, Die Geschichte der Null (engl. 1999, dt. 2000)